Matemáticos e Probabilidades

segunda-feira, 9 de dezembro de 2019

Coincidences: remarkable or random?

http://pascalfroissart.online.fr/3-cache/1998-martin.pdf

[Versão em português (Brasil): https://www.akitaonrails.com/2008/03/01/off-topic-somos-matematicamente-ignorantes]

O aniversário de alguém versus um certo aniversário

As surpreendentes semelhanças das coincidências são perfeitamente ilustradas com o seguinte resultado probabilístico: como o ano tem trezentos e sessenta e seis dias (se contarmos com 29 de Fevereiro), teriam de se reunir trezentas e sessenta e sete pessoas para podermos ter a certeza absoluta de que pelo menos duas delas partilham a mesma data de aniversário. Porquê? Suponhamos que nos contentávamos com um grau de certeza de cinquenta por cento. Quantas pessoas teríamos de ter no grupo, para que a probabilidade de haver duas delas com a mesma data de aniversário se concretizasse? Uma primeira suposição, apontaria para cento e oitenta e três, isto é, perto de metade de trezentos e sessenta e cinco. A resposta, surpreendente, é de que só precisamos de vinte e três pessoas. Dita de outra forma, em metade das ocasiões em que se reúnem vinte e três pessoas escolhidas ao acaso, duas ou mais delas compartilharão a mesma data de nascimento.
Para os leitores que não quiserem aceitar este facto do pé para a mão, aqui deixo uma curta derivação.

De acordo com o princípio da multiplicação, o número de maneiras em que cinco datas podem ser escolhidas (permitindo-se repetições) é de (365 x 365 x 365 x 365 x 365). De todas estas 365^5 maneiras, contudo, só (365 x 364x 363 x 362x361) podem coexistir de modo a que não haja duas datas iguais; qualquer dos trezentos e sessenta e cinco dias pode ser escolhido em primeiro lugar, o mesmo sucedendo com os restantes trezentos e sessenta e quatro para o segundo lugar, e assim por diante. Deste modo, se dividirmos este último produto (365 x 364x 363 x 362 x 361) por 365^5, obtemos a probabilidade de cinco pessoas escolhidas ao acaso não terem em comum a data de nascimento. Ora bem, se subtrairmos esta probabilidade a um (ou a cem por cento, se estivermos a trabalhar com percentagens), obtemos uma probabilidade complementar em que, pelo menos, duas das cinco pessoas têm a mesma data de nascimento. Um cálculo semelhante, mas usando vinte e três pessoas em lugar de cinco, dá-nos cinquenta por cento, como probabilidade para que, pelo menos, duas das vinte e três pessoas tenham a mesma data de aniversário.

[Fonte: Inumerismo, de John Allen Paulos (adaptado)]