Coincidences: remarkable or random?

[Versão em português (Brasil): https://www.akitaonrails.com/2008/03/01/off-topic-somos-matematicamente-ignorantes]

O aniversário de alguém versus um certo aniversário

As surpreendentes semelhanças das coincidências são perfeitamente ilustradas com o seguinte resultado probabilístico: como o ano tem trezentos e sessenta e seis dias (se contarmos com 29 de Fevereiro), teriam de se reunir trezentas e sessenta e sete pessoas para podermos ter a certeza absoluta de que pelo menos duas delas partilham a mesma data de aniversário. Porquê? Suponhamos que nos contentávamos com um grau de certeza de cinquenta por cento. Quantas pessoas teríamos de ter no grupo, para que a probabilidade de haver duas delas com a mesma data de aniversário se concretizasse? Uma primeira suposição, apontaria para cento e oitenta e três, isto é, perto de metade de trezentos e sessenta e cinco. A resposta, surpreendente, é de que só precisamos de vinte e três pessoas. Dita de outra forma, em metade das ocasiões em que se reúnem vinte e três pessoas escolhidas ao acaso, duas ou mais delas compartilharão a mesma data de nascimento.
Para os leitores que não quiserem aceitar este facto do pé para a mão, aqui deixo uma curta derivação.

De acordo com o princípio da multiplicação, o número de maneiras em que cinco datas podem ser escolhidas (permitindo-se repetições) é de (365 x 365 x 365 x 365 x 365). De todas estas 365^5 maneiras, contudo, só (365 x 364x 363 x 362x361) podem coexistir de modo a que não haja duas datas iguais; qualquer dos trezentos e sessenta e cinco dias pode ser escolhido em primeiro lugar, o mesmo sucedendo com os restantes trezentos e sessenta e quatro para o segundo lugar, e assim por diante. Deste modo, se dividirmos este último produto (365 x 364x 363 x 362 x 361) por 365^5, obtemos a probabilidade de cinco pessoas escolhidas ao acaso não terem em comum a data de nascimento. Ora bem, se subtrairmos esta probabilidade a um (ou a cem por cento, se estivermos a trabalhar com percentagens), obtemos uma probabilidade complementar em que, pelo menos, duas das cinco pessoas têm a mesma data de nascimento. Um cálculo semelhante, mas usando vinte e três pessoas em lugar de cinco, dá-nos cinquenta por cento, como probabilidade para que, pelo menos, duas das vinte e três pessoas tenham a mesma data de aniversário.

[Fonte: Inumerismo, de John Allen Paulos (adaptado)]

Probabilidades e desporto

[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]

Formas de constituir um pódio

Exemplo de arranjos sem repetição

[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]

Pin de um smartphone

Exemplo de arranjo com repetição:

 

[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]

Desporto e cálculo combinatório

[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]

Cálculo combinatório e identificações

[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]

Cálculo combinatório

O cálculo combinatório tem como objetivo a resolução de problemas que envolvem a contagem de elementos de diferentes conjuntos.
Associado às Probabilidades e à Estatística, o cálculo combinatório constitui um poderoso instrumento de antecipação de resultados no campo industrial, comercial, científico e governamental.

Probabilidades na Economia e Finanças

[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]

Criptografia e cálculo combinatório

[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]

Exercício resolvido: Lei dos grandes números

Probabilidades e genética

[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]

Probabilidades e seguros

[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]

Não há coincidências, é tudo matemática e probabilidades

Hoje lavas tu a loiça

A falácia do apostador

Cardano e a Lei do Espaço Amostral

No capítulo catorze do livro Livro dos jogos de azar, “Dos pontos combinados”, Cardano define a regra geral para o cálculo dos resultados prováveis de alguns eventos aleatórios como sendo a razão entre a quantidade de possibilidades favoráveis e a quantidade total de possibilidades associadas ao evento. A regra geral de Cardano é equivalente à Lei do Espaço Amostral estudada dentro da atual teoria da probabilidade. E no capítulo quinze, pela primeira vez, Cardano faz o uso da palavra probabilidade. Essa foi a primeira aplicação da palavra na forma escrita.
O Livro dos jogos de azar, além de trazer os primeiros estudos sistematizados sobre a teoria probabilística, também pode ser lido como manual para apostadores de jogos de azar, pois o livro não trata apenas de questões matemáticas, mas também de assuntos com perfil psicológico, como a personalidade dos jogadores.

[Fonte: twitter.com/rationalexpec/]

História do conceito de probabilidade

Podemos afirmar que a probabilidade é tão antiga quanto o Homem. Faz parte da natureza humana indagar acerca da possibilidade das mais diversas ocorrências do dia a dia. De facto, textos muito antigos referem a avaliação o da probabilidade na condução da vida, tendo sido estudada pelos Matemáticos chineses do século I. Além disso podemos pensar que o Homem sempre se interessou por jogos de azar, tais como aqueles que envolvem dados e cartas. Os jogos de dados, na forma como hoje a conhecemos, realizam-se desde o Império Romano tanto quanto é conhecido. Os jogos de cartas foram introduzidos na Europa pelos Chineses, Indianos, Egípcios e tornaram-se bastante populares nos finais do séc. XIII. Problemas envolvendo finanças, seguros e mortalidade surgiram também bem cedo na civilização o ocidental.

Gerolamo Cardano (1501-1576)
[Fonte: ahistoryblog.com]

Gerolamo Cardano (1501-1576) foi um dos primeiros investigadores a estudar problemas envolvendo probabilidade. Cardano era Físico, Astrólogo e Matemático, tendo sido reitor da Universidade de Padova. Era também um exímio jogador de jogos de azar e escreveu uma obra tratando essencialmente desde tipo de jogos, denominada Liber de Ludo, onde introduziu, entre outras, a ideia de caracterizar a probabilidade de um acontecimento como um número p entre 0 e 1, mostrando compreender, no contexto de jogos de dados, o conceito de equiprobabilidade de acontecimentos tendo ainda antecipando resultados importantes sobre limites de probabilidades e sobre a distribuição binomial. A sua obra foi publicada a título póstumo em 1633. Foi nesta altura que se considera que o cálculo de probabilidades, como ramo da Matemática, foi iniciado.

Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665) iniciaram, em 1654, troca de correspondência sobre probabilidades e frequências de resultados em jogos de azar.

Blaise Pascal (1623-1662)
 [Fonte: britannica.com]

Nesse tempo, em França, era costume os notáveis discutirem assuntos académicos como parte dos seus afazeres sociais e de prazer. Antoine Gombaud, o Chavalier de Méré, propôs a Pascal o problema de dividir justamente o dinheiro apostado num jogo que termina prematuramente. Por exemplo, um jogador aposta a saída de um 6 até e que o dado seja lançado 8 vezes. Se o jogo terminar após 3 lançamentos nos quais ocorreu sempre insucesso, quanto deve caber a cada um dos jogadores? Pascal reportou este problema a Fermat, e a sua troca de ideias mostra claramente o entendimento de conceitos tais como repetição de experiências independentes e a diferença entre probabilidade condicional e não condicional. De facto, Pascal propôs que a probabilidade do acontecimento ocorrer na i-ésima tentativa é

 

pelo que se se adicionar os termos correspondentes a i desde 4 até  8, obtém-se a probabilidade p de ganhar em 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 tentativas, pelo que o dinheiro deverá ser distribuído atribuindo a proporção p do dinheiro ao apostador e 1- p aos restantes jogadores.

Pierre de Fermat (1601-1665) [Fonte: tumblr.com]

Fermat responde que esta análise só estará correcta se for conhecido o resultado do primeiro dos três lançamentos. Neste caso, a probabilidade do apostador ganhar no próximo lançamento é 1/6 - noção de probabilidade condicional - pelo que o apostador deverá receber 1/6 do quinhão independentemente de quando o jogo terminar. Mais tarde, independentemente um do outro, ambos notaram a importância do coeficiente binomial  no cálculo de probabilidades

 envolvendo repetições independentes de experiências. Importa referir que o cálculo combinatório tinha já sido usado pelo menos desde 300 a.C. pelos Hindus. Ainda neste século, mas já na segunda metade, surge o primeiro livro em probabilidade, De ratiociniis in ludo alea, de Cristaan Huygens (1629-1695), matemático alemão, que compila e estende os resultados de Pascal e Fermat. O primeiro grande período de desenvolvimento da teoria foi o século XVIII onde, em 1713, foi publicada, postumamente, a obra Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli (1654-1705).

Jacob Bernoulli (1654-1705)
[Fonte: pt.wikipedia.org]

Nessa obra Bernoulli estabelece e justifica as bases de análise combinatória subjacentes à teoria das probabilidades. No entanto, Bernoulli não é a fonte original de muitos desses resultados, sendo esse mérito de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Em 1718 foi publicada, ainda, La Doctrine des Chances de DeMoivre. Thomas Bayes (1702-1761) é também um dos mais famosos probabilistas anteriores a Laplace, pelo seu trabalho, publicado postumamente em 1763, An Essay Towards Solving A Problem in the Doutrine of Chances.
A transição para o séc. XIX foi marcada pelo livro Théorie Analytique des Probabilités, publicado em 1812, de Pierre-Simmon Laplace (1749-1827). No século XX as probabilidades encontravam-se num estado de grande desenvolvimento em teoria e aplicações.

Pierre-Simmon Laplace (1749-1827)

[Fonte: pt.wikipedia.org]

 O problema da axiomatizaçãoo da probabilidade foi um dos enumerados por Hilbert, em 1900, no Congresso Internacional de Matemática, e muitos tais como Diogo Pacheco de Amorim, Bernstein e Von-Mises, tentaram resolvê-lo mas sem o mesmo ^ êxito que Andrei Kolmogorov (1903-1987). Esta axiomática, perspectivada por Kolmogorov e publicada em 1933 com  título original, Grundegebrieffe des Wahrscheinlichkeistheorie, é a base da teoria moderna das probabilidades.

Andrei Kolmogorov (1903-1987) 

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Fonte: alchetron.com]

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Texto (adaptado) de:

• Azevedo, C. M. (2004). O que é a probabilidade? : interpretações da probabilidade. Braga: Instituto de Educação e Psicologia da Universidade do Minho. http://hdl.handle.net/1822/1535

Genética

Probabilidades nos jogos

Binómio de Newton

Isaac Newton

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo

[Fonte: Pintrest.com]

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó — óóóóóóóóó — óóóóóóóóóóóóóóó
(O vento lá fora).

s.d.

Poesias de Álvaro de Campos. Fernando Pessoa. Lisboa: Ática, 1944 (imp. 1993).  - 110.

[Fonte: http://arquivopessoa.net/textos/224]

Probabilidades

A teoria das probabilidades teve a sua origem no século XVIII, tendo como objetivo responder a questões ligadas a jogos de azar. É uma área ainda jovem da Matemática que investiga e quantifica o grau de certeza/incerteza de ocorrência de determinados acontecimentos. Atualmente, a teoria das probabilidades aplica-se a múltiplos aspetos da vida social e da pesquisa científica, por exemplo, análise especulativa da economia mundial e de mercado financeiro, análise estatística, genética, física, jogos de azar, inteligência artificial/aprendizagem das máquinas, ciências da computação, teoria dos jogos, ...