[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]
terça-feira, 26 de novembro de 2019
segunda-feira, 25 de novembro de 2019
Formas de constituir um pódio
Exemplo de arranjos sem repetição
[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]
Pin de um smartphone
Exemplo de arranjo com repetição:
[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]
Cálculo combinatório e identificações
[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]
Cálculo combinatório
O cálculo combinatório tem como objetivo a resolução de problemas que envolvem a contagem de elementos de diferentes conjuntos.
Associado às Probabilidades e à Estatística, o cálculo combinatório constitui um poderoso instrumento de antecipação de resultados no campo industrial, comercial, científico e governamental.
Associado às Probabilidades e à Estatística, o cálculo combinatório constitui um poderoso instrumento de antecipação de resultados no campo industrial, comercial, científico e governamental.
Probabilidades na Economia e Finanças
[Fonte: Dimensões – Matemática A 12.º Ano. Editora Santillana.]
domingo, 24 de novembro de 2019
Cardano e a Lei do Espaço Amostral
No capítulo catorze do livro Livro dos jogos de azar, “Dos pontos combinados”, Cardano define a regra geral para o cálculo dos resultados prováveis de alguns eventos aleatórios como sendo a razão entre a quantidade de possibilidades favoráveis e a quantidade total de possibilidades associadas ao evento. A regra geral de Cardano é equivalente à Lei do Espaço Amostral estudada dentro da atual teoria da probabilidade. E no capítulo quinze, pela primeira vez, Cardano faz o uso da palavra probabilidade. Essa foi a primeira aplicação da palavra na forma escrita.
O Livro dos jogos de azar, além de trazer os primeiros estudos sistematizados sobre a teoria probabilística, também pode ser lido como manual para apostadores de jogos de azar, pois o livro não trata apenas de questões matemáticas, mas também de assuntos com perfil psicológico, como a personalidade dos jogadores.
O Livro dos jogos de azar, além de trazer os primeiros estudos sistematizados sobre a teoria probabilística, também pode ser lido como manual para apostadores de jogos de azar, pois o livro não trata apenas de questões matemáticas, mas também de assuntos com perfil psicológico, como a personalidade dos jogadores.
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| [Fonte: twitter.com/rationalexpec/] |
História do conceito de probabilidade
Podemos afirmar que a probabilidade é tão antiga quanto o Homem. Faz parte da natureza
humana indagar acerca da possibilidade das mais diversas ocorrências do dia a dia. De facto,
textos muito antigos referem a avaliação o da probabilidade na condução da vida, tendo sido
estudada pelos Matemáticos chineses do século I. Além disso podemos pensar que o Homem
sempre se interessou por jogos de azar, tais como aqueles que envolvem dados e cartas. Os
jogos de dados, na forma como hoje a conhecemos, realizam-se desde o Império Romano
tanto quanto é conhecido. Os jogos de cartas foram introduzidos na Europa pelos Chineses,
Indianos, Egípcios e tornaram-se bastante populares nos finais do séc. XIII.
Problemas envolvendo finanças, seguros e mortalidade surgiram também bem cedo na
civilização o ocidental.
Gerolamo Cardano (1501-1576) foi um dos primeiros investigadores a estudar problemas
envolvendo probabilidade. Cardano era Físico, Astrólogo e Matemático, tendo sido reitor
da Universidade de Padova. Era também um exímio jogador de jogos de azar e escreveu
uma obra tratando essencialmente desde tipo de jogos, denominada Liber de Ludo, onde
introduziu, entre outras, a ideia de caracterizar a probabilidade de um acontecimento como
um número p entre 0 e 1, mostrando compreender, no contexto de jogos de dados, o conceito de
equiprobabilidade de acontecimentos tendo ainda antecipando resultados importantes sobre
limites de probabilidades e sobre a distribuição binomial. A sua obra foi publicada a título póstumo em 1633. Foi nesta altura que se considera que o cálculo de probabilidades, como
ramo da Matemática, foi iniciado.
Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665) iniciaram, em 1654, troca de correspondência sobre probabilidades e frequências de resultados em jogos de azar.
Nesse tempo, em França, era costume os notáveis discutirem assuntos
académicos como parte dos seus afazeres sociais e de prazer. Antoine Gombaud, o Chavalier
de Méré, propôs a Pascal o problema de dividir justamente o dinheiro apostado num jogo que
termina prematuramente. Por exemplo, um jogador aposta a saída de um 6 até e que o dado seja
lançado 8 vezes. Se o jogo terminar após 3 lançamentos nos quais ocorreu sempre insucesso,
quanto deve caber a cada um dos jogadores? Pascal reportou este problema a Fermat, e a
sua troca de ideias mostra claramente o entendimento de conceitos tais como repetição de
experiências independentes e a diferença entre probabilidade condicional e não condicional.
De facto, Pascal propôs que a probabilidade do acontecimento ocorrer na i-ésima tentativa é
pelo que se se adicionar os termos correspondentes a i desde 4 até 8, obtém-se a probabilidade p de ganhar em 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 tentativas, pelo que o dinheiro
deverá ser distribuído atribuindo a proporção p do dinheiro ao apostador e 1- p aos restantes
jogadores.
Fermat responde que esta análise só estará correcta se for conhecido o resultado do
primeiro dos três lançamentos. Neste caso, a probabilidade do apostador ganhar no próximo
lançamento é 1/6 - noção de probabilidade condicional - pelo que o apostador deverá receber
1/6
do quinhão independentemente de quando o jogo terminar.
Mais tarde, independentemente um do outro, ambos notaram a importância do coeficiente
binomial no cálculo de probabilidades
envolvendo repetições independentes de experiências. Importa referir que o cálculo combinatório tinha já sido usado pelo menos desde 300
a.C. pelos Hindus.
Ainda neste século, mas já na segunda metade, surge o primeiro livro em probabilidade, De
ratiociniis in ludo alea, de Cristaan Huygens (1629-1695), matemático alemão, que compila e
estende os resultados de Pascal e Fermat.
O primeiro grande período de desenvolvimento da teoria foi o século XVIII onde, em 1713,
foi publicada, postumamente, a obra Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli (1654-1705).
Nessa
obra Bernoulli estabelece e justifica as bases de análise combinatória subjacentes à teoria
das probabilidades. No entanto, Bernoulli não é a fonte original de muitos desses resultados,
sendo esse mérito de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Em 1718 foi publicada, ainda, La Doctrine des Chances de DeMoivre.
Thomas Bayes (1702-1761) é também um dos mais famosos probabilistas anteriores a
Laplace, pelo seu trabalho, publicado postumamente em 1763, An Essay Towards Solving A
Problem in the Doutrine of Chances.
A transição para o séc. XIX foi marcada pelo livro Théorie Analytique des Probabilités, publicado em 1812, de Pierre-Simmon Laplace (1749-1827). No século XX as probabilidades encontravam-se num estado de grande desenvolvimento em teoria e aplicações.
O problema da axiomatizaçãoo da probabilidade foi um dos enumerados por Hilbert, em
1900, no Congresso Internacional de Matemática, e muitos tais como Diogo Pacheco de Amorim, Bernstein e Von-Mises, tentaram resolvê-lo mas sem o mesmo ^ êxito que Andrei Kolmogorov (1903-1987).
Esta axiomática, perspectivada por Kolmogorov e publicada em 1933 com título original,
Grundegebrieffe des Wahrscheinlichkeistheorie, é a base da teoria moderna das probabilidades.
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Texto (adaptado) de:
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| Gerolamo Cardano (1501-1576) [Fonte: ahistoryblog.com] |
Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-1665) iniciaram, em 1654, troca de correspondência sobre probabilidades e frequências de resultados em jogos de azar.
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| Blaise Pascal (1623-1662) [Fonte: britannica.com] |
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| Pierre de Fermat (1601-1665) [Fonte: tumblr.com] |
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| Jacob Bernoulli (1654-1705) [Fonte: pt.wikipedia.org] |
A transição para o séc. XIX foi marcada pelo livro Théorie Analytique des Probabilités, publicado em 1812, de Pierre-Simmon Laplace (1749-1827). No século XX as probabilidades encontravam-se num estado de grande desenvolvimento em teoria e aplicações.
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Pierre-Simmon Laplace (1749-1827)
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| Andrei Kolmogorov (1903-1987) | [ | Fonte: alchetron.com] |
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Texto (adaptado) de:
- Azevedo, C. M. (2004). O que é a probabilidade? : interpretações da probabilidade. Braga: Instituto de Educação e Psicologia da Universidade do Minho. http://hdl.handle.net/1822/1535
quarta-feira, 20 de novembro de 2019
O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo
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| [Fonte: Pintrest.com] |
O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó — óóóóóóóóó — óóóóóóóóóóóóóóó
(O vento lá fora).
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó — óóóóóóóóó — óóóóóóóóóóóóóóó
(O vento lá fora).
s.d.
Poesias de Álvaro de Campos. Fernando Pessoa. Lisboa: Ática, 1944 (imp. 1993). - 110.
[Fonte: http://arquivopessoa.net/textos/224]
[Fonte: http://arquivopessoa.net/textos/224]
segunda-feira, 18 de novembro de 2019
Probabilidades
A teoria das probabilidades teve a sua origem no século XVIII, tendo como objetivo responder a questões ligadas a jogos de azar. É uma área ainda jovem da Matemática que investiga e quantifica o grau de certeza/incerteza de ocorrência de determinados acontecimentos. Atualmente, a teoria das probabilidades aplica-se a múltiplos aspetos da vida social e da pesquisa científica, por exemplo, análise especulativa da economia mundial e de mercado financeiro, análise estatística, genética, física, jogos de azar, inteligência artificial/aprendizagem das máquinas, ciências da computação, teoria dos jogos, ...
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